Под знаком корня может быть ноль

Ко­рень n-й сте­пе­ни

под знаком корня может быть ноль

Введение понятия арифметического квадратного корня. Квадратным Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. 2. под корнем не может быть отрицательное число. Число под корнем всегда или больше или = 0 знак выноситься из под корня, отрицательное. Действительно, в нашем примере число десятков корня не может быть Пишем эту цифру направо от знака =, запомнив, что она означает десятки корня. только из 8 десятков, и потому на место единиц надо поставить нуль.

Таким образом, на множестве действительных чисел не существует квадратного корня из отрицательного числа. Иными словами, на множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не определяется и не имеет смысла.

Отсюда вытекает логичный вопрос: Обоснованием этого факта можно считать конструктивный способ, используемый для нахождения значения квадратного корня. Тогда встает следующий логичный вопрос: Вот ответ на него: Сначала покажем, что нуль действительно является квадратным корнем из нуля.

Теперь докажем, что 0 — единственный квадратный корень из нуля. Воспользуемся методом от противного.

под знаком корня может быть ноль

Предположим, что существует некоторое число b, отличное от нуля, которое является квадратным корнем из нуля. Мы пришли к противоречию. Это доказывает, что 0 — единственный квадратный корень из нуля. Переходим к случаям, когда a — положительное число.

Выше мы сказали, что всегда существует квадратный корень из любого неотрицательного числа, пусть квадратным корнем из a является число b. Допустим, что существует число c, которое тоже является квадратным корнем из a. Таким образом, числа b и c равны или противоположны. Если же предположить, что существует число d, являющееся еще одним квадратным корнем из числа a, то рассуждениями, аналогичными уже приведенным, доказывается, что d равно числу b или числу c.

Итак, число квадратных корней из положительного числа равно двум, причем квадратные корни являются противоположными числами. С этой целью вводится определение арифметического квадратного корня. Определение Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение.

Знак называется знаком арифметического квадратного корня. Его также называют знаком радикала. Например, в записи число — это подкоренное число, а в записи выражение a является подкоренным выражением. В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что и для любого неотрицательного числа a.

Квадратные корни из положительного числа a с помощью знака арифметического квадратного корня записываются как. Например, квадратные корни из числа 13 есть. Арифметический квадратный корень из нуля равен нулю, то есть.

Корень n-ой степени: определения, обозначение, примеры

Для отрицательных чисел a записи мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел. Например, лишены смысла выражения и На базе определения квадратного корня доказываются свойства квадратных корнейкоторые часто применяются на практике. Нахождение квадратных корней заслуживает детального изучения, этой теме посвящена отдельная статья извлечение квадратных корней.

К началу страницы Кубический корень из числа Определение кубического корня из числа a дается аналогично определению квадратного корня. Только оно базируется на понятии куба числа, а не квадрата.

Определение Кубическим корнем из числа a называется число, куб которого равен a. Приведем примеры кубических корней. Можно показать, что кубический корень из числа a, в отличие от квадратного корня, всегда существует, причем не только для неотрицательных a, но и для любого действительного числа a.

Для этого можно использовать тот же способ, о котором мы упоминали при изучении квадратного корня. Более того, существует только единственный кубический корень из данного числа a. Для этого отдельно рассмотрим три случая: Легко показать, что при положительном a кубический корень из a не может быть ни отрицательным числом, ни нулем.

Итак, кубический корень из положительного числа a является положительным числом.

Корень из числа: определения, примеры

Теперь предположим, что помимо числа b существует еще один кубический корень из числа a, обозначим его c. Точным квадратным корнем из данного числа называется такое число, квадрат которого в точности равняется данному числу. Укажем некоторые признаки, по которым можно судить, извлекается ли из данного числа точный корень, или нет: Из таких чисел, из которых нельзя извлечь точный корень, можно извлекать лишь приближенные корни.

Приближенный корень с точностью до 1. Приближенным квадратным корнем с точностью до 1 из данного числа целого или дробного — все равно называется такое целое число, которое удовлетворяет следующим двум требованиям: Другими словами, приближенным квадратным корнем с точностью до 1 называется наибольший целый квадратный корень из данного числа. Корень этот называется приближенным с точностью до 1, потому что для получения точного корня к этому приближенному корню надо было бы добавить еще некоторую дробь, меньшую 1, так что если вместо неизвестного точного корня мы возьмем этот приближенный, то сделаем ошибку, меньшую 1.

Положим, требуется найти приближенный квадратный корень с точностью до 1 изТогда, не обращая внимания на дробь, извлечем корень только из целого числа.

Корень (математика)

Чтобы извлечь приближенный квадратный корень с точностью до 1, надо извлечь наибольший целый корень из целой части данного числа. Если этот корень увеличим на 1, то получим другое число, в котором есть некоторый избыток над точным корнем, и избыток этот меньше 1. Это значит, что требуется найти такую десятичную дробь, которая состояла бы из целых единиц и десятых долей и которая удовлетворяла бы двум следующим требованиям: Чтобы найти такую дробь, мы сначала нaйдем приближенный корень с точностью до 1.

  • Иррациональные уравнения
  • Извлечение корней: методы, способы, решения
  • Квадратный корень. Коротко о главном.

Получим 1 и в остатке 1. Пишем в корне цифру1 и ставим после нее запятую. Теперь будем искать цифру десятых. Для этого сносим к остатку 1 цифры 35, стоящие направо от запятой, и продолжаем извлечениетак, как будто мы извлекали корень из целого числа Полученную цифру 5 пишем в корне на месте десятых.

Остальные цифры подкоренного числа нам не нужны. Если бы мы находили наибольший целый корень из с точностью до 1, то получили бы Разделив все эти числа наполучим: Найдем еще этим приемом следующие приближенные корни с точностью до 0,1: Такую дробь мы найдем в такой последовательности: Корень из целого числа будет 15 целых. В нашем примере этих цифр нет вовсе, ставим на их место нули.

Приписав их к остатку и продолжая действие так, как будто находим корень из целого числа 24мы найдем цифру десятых 7. Остается найти цифру сотых. Для этого приписываем к остатку еще 2 нуля и продолжаем извлечение, как будто мы находим корень из целого числа 2 Если бы мы находили наибольший целый квадратный корень из целого числа 2то получили бы ; значит: Потом находят цифру десятых.

Для этого к остатку сносят ,2 цифры подкоренного числа, стоящие направо от запятой если их нет, приписывают к остатку два нуляи продолжают извлечение так, как это делается при извлечении корня из целого числа. Полученную цифру пишут в корне на месте десятых. Затем находят цифру сотых.

Для этого к остатку сносят снова две цифры, стоящие направо от тех, которые были только что снесены, и. Описание таблицы квадратных корней. В конце этой книги приложена таблица квадратных корней, вычисленных с четырьмя цифрами. По этой таблице можно быстро находить квадратный корень из целого числа или десятичной дробикоторое выражено не более, чем четырьмя цифрами. Кроме того, так как в целой части подкоренного числа всех граней только 2, то в целой части искомого корня должно быть 2 цифры и, следовательно, первая его цифра 2 должна означать десятки.

Первая значащая цифра есть 9, так как грань, из которой пришлось бы извлекать корень для получения первой значащей цифры, есть 83, а корень из 83 равен 9. Первая значащая цифра есть 8 десятых. Первая значащая цифра будет 5 тысячных. Корень этот может быть один из слелуюших: Если возьмем корни, подчеркнутые нами одной чертою, то все они будут выражены одним и тем же рядом цифр, именно теми цифрами, которые получаются при извлечении корня из это будут цифры 7, 5, 3, 7.

Причина этому та, что грани, на которые приходится разбивать подкоренное число при нахождении цифр корня, будут во всех этих примерах одни и те же, поэтому и цифры для каждого корня окажутся одинаковые только положение запятой будет, конечно, различное. Таким образом, цифры корней из чисел, изображаемых по отбрасывании запятой одним и тем же рядом цифрбудут двоякого и только двоякого рода: То же самое, очевидно, может быть сказано о всяком другом ряде цифр.

под знаком корня может быть ноль

Поэтому, как мы сейчас увидим, в таблице каждому ряду цифр подкоренного числа соответствуют 2 ряда цифр для корней. Теперь мы можем объяснить устройство таблицы и способ ее пользования. Для ясности объяснения мы изобразили здесь начало первой страницы таблицы. Таблица эта расположена на нескольких страницах. На каждой из них в первой слева колонке помещены числа 10, 11, Эти числа выражают первые 2 цифры числа, из которого ищется квадратный корень.

В верхней горизонтальной строчке а также и в нижней размещены числа: Во всех других горизонтальных строчках помещены по 2 четырехзначных числа, выражающие квадратные корни из соответствующих чисел. Затем отбросим в данном числе запятую, если она. В этом месте мы находим два четырехзначных числа: Которое из этих двух чисел надо взять и где поставить в нем запятую, это определяется первою цифрою корня и ее разрядом, которые мы нашли раньше. Таким образом мы легко найдем: Положим теперь, что требуется найти корень из числа, выраженного по отбрасывании запятой 4 цифрами, напр.

Заметив, что первая цифра корня есть 2 десятка, находим для числа так, как сейчас было объяснено, цифры это число только замечаем пальцем, но его не записываем. Потом продвигаемся от этого числа еще направо до тех пор, пока в правой части таблицы за последнею жирною чертою не встретим ту вертикальную колонку, которая отмечена наверху и внизу 4-й цифрой данного числа. Это будет поправка, которую надо приложить в уме к ранее найденному числу ; получим Это число записываем и ставим в нем запятую на надлежащем месте: Таким путем найдем, напр: Если подкоренное число выражается только одной или двумя цифрами, то мы можем предположить, что после этих цифр стоит один или два нуля, и затем поступать так, как было объяснено для трехзначного числа.

Наконец, если подкоренное число выражено более, чем 4 цифрами, то из них мы возьмем только первые 4, а остальные отбросим, причем для уменьшения ошибки, если первая из отбрасцваемых цифр есть 5 или более 5, то мы увеличим на l четвертую из удержанных цифр.

В таблицах указан приближенный квадратный корень иногда с недостатком, иногда же с избытком, а именно тот из этих приближенных корней, который ближе подходит к точному корню.